Tajemnica stojąca za: 0.999... = 1 ?

« English version »

Wikipedia: 0.999...

Zdarza się, że poszukując rozwiązania tak się w tym zapominamy, że po pewnym czasie nie pamiętamy jakiego problemu ono dotyczyło. Nie jest mi to obce a i u innych też widziałem takie przypadki. Zresztą wystarczy spojrzeć na przepisy prawne - Ja jednak przyjrzę się pod tym względem matematyce. Nie będzie to jakiś wybitny dowód, lecz opisowe wyjaśnienia problemu z którym zdarzyło mi się zetknąć, tak prosto jak tylko potrafię.

0.999... = 1

Dowodem na to ma być min. poniższe wyprowadzenie:

      x = 0.999...
    10x = 9.999...
10x - x = 9.999... - 0.999...
     9x = 9
      x = 1


Więcej można poczytać na Wiki: 0.999... lub od razu przejść do zgrabnego wyjaśnienia które napisał Cecil Adams. Nagrody Nobla za to nie będzie, ale w ciele liczb rzeczywistych jego wyjaśnienie jak najbardziej ma sens.

Ja natomiast chciałem pójść krok dalej, czyt. wyjaśnić czemu tak się dzieje. W tym celu stosując tę samą metodę (co wyżej) udowodnię, że każdy człowiek zarabia tyle samo.

Niech:
  m - dochody najlepiej zarabiającego człowieka.
  x - dochody jakiegoś dowolnego człowieka.
  y - dochody jakiegoś innego dowolnego człowieka.
Mamy więc:
  x >= 0
  y >= 0
  x <= m
  y <= m

Załóżmy:
  x = y
Podzielić przez coś nie-zerowego nam wolno:
  x/2m = y/2m
Teraz zapiszmy to w liczbach całkowitych:
na mocy (x <= m)
  x/2m = 0
na mocy (y <= m)
  y/2m = 0
Mamy więc:
  0 = 0


Tak oto dowiodłem, że każdy z nas zarabia tyle samo, jednocześnie udowadniając zasadność systemu komunistycznego.

Wyjaśnienie

Czas skończyć się pastwić i wyjaśnić na czym polega zagwostka. Każdy z nas zarabia tyle samo, 'ale' polega na tym, że z dokładnością do dwukrotnej pensji najlepiej zarabiającego. To samo dzieje się w przypadku 0.999... = 1. Tyle tylko, że o ile w przypadku liczb całkowitych dokładność wynosi 1, to dokładność liczb rzeczywistych wynosi (z grubsza) 1/∞ Tak więc możemy spokojnie powiedzieć ze 0.(9) wynosi 1, ALE z dokładnością 1/∞ co jednocześnie jest (z grubsza) różnicą między tymi dwoma liczbami.

Podsumowując

Wszystkie takowe wyprowadzenia (min na Wiki) są jak najbardziej prawidłowe, ale sensu w nich nie ma za wiele.

Jest jak jest

Poprawna algebra nieskończoności nie jest używana z kilku dosyć prostych powodów (ogólnie rzecz biorąc):

• Wartości nieskończenie małe są 'relatywnie' bez znaczenia więc dosyć długo nie było potrzeby uwzględniania ich we wzorach.
• Algebra liczb z użyciem ∞ przestaje mieć charakter skalarny, a zaczyna przejawiać cechy wektorowe.
• Wyniki obliczeń były interesujące tylko jeśli nieskończoności się zniosły.
• Uwzględnianie nieskończoności we wzorach jest dość męczące.
• Należałoby skorygować lub co najmniej sprawdzić sporą część używanych od dawien dawna wzorów.

Więcej na...

Jeśli ktoś chciałby sobie co nieco policzyć może zapoznać się z liczbami hiperrzeczywistymi, które to zawierają liczby nieskończone oraz infinitezymalne (większe od zera, ale mniejsze od każdej rzeczywistej liczby dodatniej). Natomiast ogólny zarys historyczny tychże możemy przeczytać w Delta Mi: Analiza niestandardowa.